확률이란? probability

발생 가능한 모든 사건들 중 특정 사건이 발생할 비율이 확률이다. 

예를들어 주사위를 던질때 1부터 6까지의 수가 발생할 확률이 (즉, 주사위가 조작되지 않았다고 할 때) 공평하다고 하자. 이때 1부터 6까지 각각의 사건들이 발생할 확률은 전체 공간을 6 등분한 것 분의 1이 된다. 즉, 1/6의 확률로 각각의 사건이 발생한다. 이렇듯 전체 사건 공간에서 특정 사건이 발생할 %가 바로 '확률'이다. 

 

표본공간

확률실험에서 발생 가능한 모든 결과들의 집합

 

사건

표본공간 내에서의 관심 부분집합

ex. 홀수가 나오는 경우 {1, 3, 5}

 

 

베르누이 시행

각 실험에서 발생 가능한 결과는 2가지 (성공 혹은 실패)

각 실험은 독립적으로 시행 가능

모든 실험에서 결과의 확률은 항상 동일

 

ex.

10개 제품 중 3개가 불량품인 경우,

무작위로 2개 복원 추출

 

P(S1, S2) = P(S1) P(S2|S1) = 3/10 x 3/10

 

그러나 비복원이어도 표본이 매우 많은 경우 베르누이 시행으로 계산할 수 있음(오차가 작음)

ex. 100만개 중 하나 선택 경우

 

주사위를 3회 던질 시 총 합이 1이 될 확률

이항분포로 계산 할 수 있음

1) 복원추출임 (던지더 다음에 던질 시 똑같은 조건임 - 전체 사건 공간이 줄지 않음)

2) 독립 시행임 -> 베르누이 시행 (성공과 실패로 구분할 수 있는 사건임)

 

각 시행의 확률 x 경우의 수

 

1이 나오는 경우를 success

1이 아닌 경우를 fail로 정의했을 시 다음과 같은 사건 공간이 생성됨

 

FFF	SFF, FSF, FFS	SSF, SFS, FSS	SSS
0	1	2	3
(5/6)^3 3개의 사건이 모두 Fail의 확률 (독립사건)의 곱으로 계산	3 * (1/6) * (5/6)^2	3 * (1/6)^2 * (5/6)	(1/6)^3
3C0 * (1/6)^0 * (5/6)^3	3C1 * (1/6)^1 * (5/6)^2	3C2 * (1/6)^2 * (5/6)^1	3C3 * (1/6)^3 * (5/6)^0

 

다음의 이항분포의 확률질량 함수(PMF)가 됨

 

이외의 분포

분포 명	특징	PMF
초기하 분포	이항분포와 유사하나 '비복원' 추출임
포아송 분포	이항분포에서 n이 커지면 계산이 어려움 즉, 계산을 근사하여 쉽게 계산하고자 사용하는 분포
음이항 분포	베르누이 시행을 성공할 때 까지 시행하는 경우 실패 횟수의 분포
다항분포	이항분포의 확장 이항분포와 달리 발생 가능한 결과가 K가지
이항분포	독립시행 베르누이 시행 복원 추출

 

초기하 분포의 기댓값 계산

 

분산

공분산