조건부 확률

조건부 확률

확률의 sample space가 조건으로 줄어듦

 

동전 두 개를 던질 시 두 동전 모두 앞면일 사건의 확률

 

1. 표본 공간을 찾음

Ω = {HH, TH, HT, TT}

 

2. 여기서 둘 다 앞면일 사건의 개수의 portion을 구함

P({HH}) = 1/4

 

전체 표본 공간에서 HH가 차지하는 '면적'은 (portion은) 1/4 즉, 25%

 

 

한 동전이 앞면이 나온 후 두 번째 동전이 앞면일 확률

1. 2회 동전 던지기의 표본 공간에서 한 동전이 앞면이 나오는 표본들

Ω’ = {HH, TH, HT}   

 

표본공간이 줄어듦

 

둘 다 앞면일 표본은 'HH' 뿐이며, 이것의 확률은 위 줄어든 표본 공간에서는 1/3임

P({HH}) = 1/3

 

조건부 확률 식

P(B|A) = P(A∩B)/P(A) , P(A) > 0

 

A가 발생한 상황에서 B가 발생할 확률은, A가 발생한 공간에서 A와 B가 동시에 발생한 경우임

즉, 표본공간이 A의 공간으로 줄어든 상태에서 B가 그 줄어든 공간에서의 발생할 비율임

 

 

곱사건(=교집합 사건)은 '조건부확률의 곱'으로 표현

 

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)

P(A∩B) = P(A) P(B|A)

 

P(A∩B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)

 

예제 1) 

1000 장 중 4장이 당첨 복권

 

첫 번째 복권이 당첨될 확률 = P(A)

4/1000

 

두 번째 복권이 당첨일 확률 = P(B)

 = 첫 번째 당첨 후 당첨 + 첫 번째 비당첨 후 당첨

 

P(B) = P(A ∩ B) + P(A^c ∩ B)

 = ​P(A) P(B | A) + P(A^c) P(B | A^c)

 = 4/1000 * 3/999 + 996/1000 * 4/999 = 0.004